La formule d’intégration par parties est sans doute la plus redoutée des étudiants. Et pourtant : bien appliquée, elle est aussi la plus puissante. Grâce à elle, une simple intégrale devient un terrain de jeu infini pour qui sait s’y prendre. Le problème ? La plupart des cours et profs se contentent de l’énoncer sans réellement l’expliquer. Résultat : beaucoup s’en servent comme roue de secours quand ils devraient l’utiliser par défaut. Alors, on a pris les devants. Et on vous a préparé un article ultra-complet pour : 1) Vous rappeler la formule — et comment l’appliquer ; 2) Vous apprendre à choisir u et v en 30s ; 3) Vous montrer les pièges à éviter ; 4) Vous donner des exemples corrigés (avec solutions détaillées). Nous vous montrons comment l’intégration par parties ouvre la porte à des concepts avancés (Riemann-Stieltjes, sommation par parties, etc.) et à des applications dans des domaines concrets (physique, finance, probabilités). Préparez-vous à découvrir votre nouvelle méthode préférée.
Formule d’intégration par parties : la réponse courte
(
\int_{a}^{b} u\,dv = [uv]{a}^{b} - \int{a}^{b} v\,du
)
Autant vous dire : si ce symbole ne vous fait pas lever un sourcil de scepticisme, c’est que vous récitez sans capter ce qui se trame derrière chaque terme. Ici, u et v sont des fonctions définies sur un intervalle I, u' et v' sont leurs dérivées respectives, les bornes a < b marquent le terrain de jeu. Cette formule n’est pas une formule magique — elle a ses conditions d’existence (et ses petites humiliations à l’oral).
Sans conditions de régularité, votre intégrale finit aux urgences — ne venez pas pleurnicher.
Conditions minimales : dérivabilité, continuité et bornes a < b
- u et v doivent être dérivables sur l’intervalle I ;
- Les dérivées u′ et v′ sont continues sur I (sinon c’est la porte ouverte au chaos) ;
- Les bornes a et b appartiennent à I avec a strictement inférieur à b.
Soyons clairs : pas de continuité, pas de chocolat.
Tutoriel express : appliquer l’intégration par parties pas à pas
Identifier u et v en moins de 30 secondes
Dans la vraie vie, personne n’a trois minutes pour méditer sur le choix de u et v – et ceux qui prétendent le contraire n’ont jamais eu un examinateur qui souffle bruyamment dans leur nuque. Autant vous dire : tout se joue dans les trente premières secondes. Voilà comment je procède (et je n’ai encore jamais vu un étudiant le faire correctement du premier coup).
Checklist mentale en mode chrono :
- Je repère d’abord la fonction qui va disparaître ou s’alléger après dérivation (logarithme, arctangente, polynôme : bingo pour u !)
- Je zappe toutes les fonctions exponentielles ou trigonométriques stables sous dérivation/intégration ; elles passent mieux en dv.
- Si j’hésite, j’imagine rapidement la tête de du et dv : si ça empire, je reviens au point 1. Pas besoin d’un octogone LIATE/ALPES – juste un cerveau éveillé.
C’est réglé ? Passe à l’étape 2 sans réciter des mantras.
Calculer u′, v et l’intégrale résiduelle
Soyons clairs : on ne va pas perdre son temps à oublier les formules élémentaires. Pour les cancres pressés (ou les cerveaux fatigués), voici le tableau minimaliste que tout élève sérieux devrait avoir tatoué sur l’avant-bras :
| Fonction | Choix usuel pour u | du/dx | ∫dv (trouvez v) |
|---|---|---|---|
| xⁿ | Oui | n·xⁿ⁻¹ | xⁿ⁺¹/(n+1) |
| ln(x) | Oui | 1/x | x·ln(x) - x |
| eˣ | Non (en dv) | eˣ | eˣ |
| sin(x)/cos(x) | Plutôt dv | cos(x)/-sin(x) | -cos(x)/sin(x) |
| arctan(x) | Oui | 1/(1+x²) | x·arctan(x) - (1/2)ln(1+x²) |
Remarque empirique : toute hésitation prolongée entre « u ou dv » est presque toujours synonyme d’erreur coûteuse — oui, même pour toi qui lis ça.
Vérifier bornes, convergence et simplification
Dans la vraie vie, on oublie trop souvent que certaines intégrales bornées sont piégées par des divergences aux extrémités ou par des simplifications abusives. Les bornes impropres demandent une vérification systématique de la convergence – sinon c’est direct dans le mur, sans airbag.
Choisir intelligemment u et v : méthode LIATE et plans B
Soyons clairs : la plupart des étudiants qui se vantent de "connaître LIATE" ne sauraient même pas justifier l’ordre des lettres. Dans la vraie vie, la règle LIATE (Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) n’est pas un gadget pédagogique mais une séquence de priorités pour éviter les intégrales impossibles à finir – sauf si on a du temps à perdre ou un penchant pour les humiliations publiques.
Règle LIATE expliquée sans langue de bois
- L — Logarithme (ex : ln(x)) : Toujours prioritaire pour u, car sa dérivée simplifie tout le reste. Exemple typique : ∫ln(x) dx, tu mets u = ln(x) et dv = dx. Résultat immédiat.
- I — Inverse trigonométrique (ex : arctan(x), arcsin(x)) : À choisir pour u dès qu’il y en a un en vue. La dérivation fait disparaître la fonction inverse.
- A — Algébrique (x, x², tout polynôme) : Prend le relais si aucune des deux précédentes n’est présente. Le polynôme se réduit à chaque dérivation.
- T — Trigonométrique (sin(x), cos(x), etc.) : Ces fonctions oscillent sans jamais vraiment décroître mais sont utilisables comme dv si rien d’autre ne s’y prête.
- E — Exponentielle (eˣ, aˣ) : Bon dernier, ce sera souvent dv car son intégration ou dérivation ne change (presque) rien.
Si tu mélanges cet ordre dans une intégrale mixte type x⋅eˣ⋅sin(x), prépare-toi à faire exploser la durée de résolution – et l’angoisse qui va avec.
Quand LIATE échoue : 3 stratégies de repli
Parce qu’on n’est pas à l’abri d’une intégrale sadique qui fait saigner du nez dès la première ligne...
- Permutation des rôles : Renversement complet ! Si ça coince avec u et dv choisis selon LIATE, échange-les. Ça passe ou ça casse – au pire tu vérifies vite fait si la nouvelle intégrale est plus digeste.
- Substitution préalable : Parfois un changement de variable simple avant d’appliquer par parties simplifie tout – genre poser t = g(x) pour transformer l’intégrande en produit abordable.
- Intégration partielle inversée : Utilise la formule à l’envers… Il arrive que l’intégrale résiduelle soit plus simple que celle de départ (cas tordu mais réel sur ∫arctan(x)/x² dx).
Heuristique perso : le « radar à simplification »
Ne fais pas confiance aux acronymes automatiques ! Voici le radar que j’utilise – et que personne ne pense jamais à activer :
- [ ] La dérivée de u fait-elle vraiment décroître le degré/complexité ?
- [ ] L’intégration de dv ne fabrique-t-elle pas un monstre ?
- [ ] Est-ce qu’au moins un terme s’annule rapidement après quelques itérations ?
- [ ] Est-ce que je peux factoriser ou simplifier après application ?
- [ ] L’opération conserve-t-elle la convergence aux bornes ?
Ceux qui passent outre finissent – dans 90 % des cas – avec une intégrale résiduelle encore moins soluble que celle du départ. Autant vous dire : c’est ballot.
Exemples corrigés incontournables
∫ x eˣ dx : le classique que tout prof adore
Soyons clairs : si tu ne maîtrises pas celle-là, tu ferais mieux de réviser tes tables de multiplication…
Étapes numérotées pour l’intégration par parties :
1. Choix : u = x ; dv = eˣ dx (la base de la base)
2. Du coup, du = dx ; v = eˣ
3. Application de la formule :
(
\int x e^x dx = [x e^x] - \int e^x dx
)
4. Simplification immédiate parce qu’on n’est pas des escrocs :
(
[x e^x] - [e^x] + C = (x - 1) e^x + C
)
Voilà le genre d’intégrale où 90% des gens perdent du temps à tourner autour du pot — alors que c’est littéralement du gâteau.
∫ ln(x) dx : repérer u caché dans la fonction
Rien que voir ∫ln(x)dx devrait déclencher un réflexe pavlovien “u = ln(x), dv = dx”. Ceux qui tentent autre chose finissent par pleurnicher devant leur feuille.
- u = ln(x) ; dv = dx
- du = (1/x)dx ; v = x
Application :
(
\int \ln(x)dx = x\ln(x) - \int x·\frac{1}{x}dx = x\ln(x) - \int 1dx = x\ln(x) - x + C
)
Autant vous dire : oublier le « + C » ici, c’est s’assurer un point en moins par réflexe automatique — et une remarque bien sentie du correcteur !
∫ arctan(x)/x² dx : version piégeuse pour concours
Là, on sort les gants. Le choix naïf serait d’attaquer bille en tête sans réfléchir, mais ça sent déjà le piège à concours.
- u = arctan(x), donc du = 1/(1+x²) dx ; dv = 1/x² dx, donc v = -1/x.
On applique la formule :
(
\int \frac{arctan(x)}{x^2}dx = -\frac{arctan(x)}{x} + \int \frac{1}{x(1+x^2)}dx
)
La nouvelle intégrale semble anodine : erreur fatale ! On tombe sur une somme de fractions partielles vicieuses.
Astuce de concours : bornes infinies ou nulles ? Penser à la limite lorsque x va vers zéro – sinon, c’est l’humiliation assurée (“Vous avez perdu un point sur une borne impossible...”).
Anecdote vécue : j’ai vu un khâgneux perdre dix minutes à pleurer sur cette intégrale — alors qu’il suffisait d’un changement d’ordre pour sauver les meubles.
Intégrale bornée : ∫₀^π x sin(x) dx
Ici, c’est l’heure du show avec bornes piégeuses. On pose u=x ; dv=sin(x)dx.
du=dx ; v=−cos(x)
Formule appliquée :
(
∫_0^{π} x sin(x) dx =[−x cos(x)]_0^{π} +∫_0^{π} cos(x)dx \
premier terme : −π cos(π)+(0·cos(0))= π (deuxième terme est zéro, mais combien oublient la "limite fantôme" en zéro...)
deuxième terme : ∫_0^{π} cos(x)dx=[sin(x)]_0^{π}=sin(π)-sin(0)=0−0=0.
donc résultat final : π.
Oui oui, il fallait juste éviter la bourde sur la borne nulle — certains y arrivent encore chaque année, comme quoi le mythe de l’erreur bête a encore de beaux jours devant lui.
Intégration par parties itérée et boucles : quand s’arrêter ?
Il y en a qui croient que l’intégration par parties, c’est juste une histoire de polynômes et d’exponentielles à la chaîne. Autant vous dire que dès qu’on tombe sur des intégrales du type (\int e^{ax} \sin(bx) dx), bizarrement, tout le monde panique. Pourtant, c’est le terrain de chasse favori des boucles cycliques — ces intégrales qui reviennent comme un mauvais souvenir après deux tours de piste.
Détecter les intégrales cycliques et boucler malin
Le traquenard classique : tu appliques une première intégration par parties sur (\int e^{ax} \sin(bx) dx), tu te retrouves avec (\int e^{ax} \cos(bx) dx)... puis rebelote : une nouvelle par parties, et magie du calcul — tu retombes exactement sur ton point de départ. Ceux qui n’ont pas pigé se noient dans la boucle infinie !
La subtilité brutale : il faut repérer très vite ce retour cyclique (indice : même structure modulo un coefficient). À ce moment-là, on arrête de foncer tête baissée et on sort l’arme fatale — la factorisation.
Factoriser pour résoudre les récurrences
Prenons un exemple sans sucre ajouté :
Soit (I = \int e^{ax} \sin(bx) dx)
On applique deux fois l’intégration par parties :
1. Premier passage : ça donne une expression en fonction de (I_1 = \int e^{ax} \cos(bx) dx)
2. Second passage (sur (I_1)) : miracle, on retombe sur I, mais multiplié par un facteur.
On obtient typiquement quelque chose comme :
[
I = f(x) + kI
]
avec (k) un nombre non trivial (genre (-a^2 - b^2)).
Règle d’or : débloque-toi en isolant I :
[
I = \frac{f(x)}{1-k}
]
Ceux qui ne factorisent pas se condamnent à tourner à vide pendant trois pages… et c’est rarement noté sur dix.
Anecdote vécue : j’ai déjà vu un élève perdre cinq points pour avoir "résolu" deux fois la même intégrale cyclique sans jamais s’arrêter – triste spectacle !
Pour creuser le sujet (sans sombrer dans la récurrence éternelle), va voir le Formule d’intégration par parties itérée — guide complet.
Pièges suicidaires et erreurs fréquentes
Mauvais choix de u : le syndrome du doublement
Autant vous dire, rater le choix de u dans l’intégration par parties, c’est la porte ouverte à toutes les catastrophes. On croit que "ça passe toujours"... faux ! Sélectionnez u au pif et admirez la magie noire :
- Prendre u = sin(x) dans ∫x·sin(x)dx (au lieu de x), résultat : deux fois plus de boulot pour retourner sur le même point.
- Choisir u = eˣ dans ∫x·eˣdx — bravo, l’intégrale résiduelle n’a rien gagné en simplicité ; vous avez juste fait un tour pour rien.
- Laisser u = 1/(1+x²) dans ∫arctan(x)/(1+x²)dx : c’est le crash assuré.
Liste rapide des mauvais choix courants :
- Mettre une exponentielle en u alors qu’elle ne bouge pas sous dérivation.
- Confondre algébrique et trigonométrique dès qu’il y a x·cos(x).
- Oublier que log ou arctan doivent passer en premier : tout le reste est sanction immédiate.
Signes et bornes : la limite fantôme
Dans la vraie vie, ce n’est pas une légende urbaine. J’ai vu un étudiant brillant oublier le signe devant l’intégrale résiduelle lors d’un oral blanc. Il perd deux points nets parce qu’il oublie qu’après application de la formule,
(
\int_a^b u dv = [uv]_a^b - \int_a^b v du
)
il faut BIEN garder le signe négatif devant la deuxième intégrale. Et pour couronner le tout, inversion distraites des bornes (genre [uv]_b^a) finissent souvent en hors-sujet complet. Rien de pire que de voir un joli calcul s’écrouler à cause d’une « limite fantôme » oubliée à zéro ou à l’infini…
Intégrale résiduelle plus complexe que l’originale
La spécialité maison des candidats pressés : croire que toute intégration par parties simplifie forcément l’affaire. C’est faux dans 30% des cas !
Essayez donc d’appliquer la méthode sur ∫e^{x²} x dx sans réfléchir : vous obtenez… exactement la même intégrale, mais avec encore plus de facteurs gênants. Même punition sur ∫ln(x)/x dx ou pire encore : sur ∫(arctan(x))² dx, où chaque tour ajoute une couche d’enfer analytique supplémentaire.
« L’art du tireur d’élite raté : viser l’intégrale originale et se tirer soigneusement une balle dans le pied en complexifiant la résiduelle… Chapeau bas à ceux qui y arrivent chaque année ! »
Extensions avancées : Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes et sommation par parties
Passage au discret : la sommation par parties
Autant vous dire : les intégrales, c’est sympa, mais dans la vraie vie on tombe souvent sur des sommes — et là, l’intégration par parties a son clone vicieux appelé sommation par parties (ou transformation d’Abel pour briller en soirée).
La formule officielle ? Si ((u_k)) et ((v_k)) sont deux suites réelles, alors on a l’analogue discret :
[
\sum_{k=m}^n u_k (v_{k+1}-v_k) = u_n v_{n+1} - u_{m-1} v_m - \sum_{k=m}^{n-1} v_{k+1} (u_{k+1} - u_k)
]
Pour les flemmards : c’est littéralement le copier-coller de l’intégration par parties, mais avec des deltas à la place des différentielles.
| Intégrale | Somme | |
|---|---|---|
| Produit | ( \int u \, dv ) | ( \sum u_k \Delta v_k ) |
| Terme croisé | ([uv]_a^b) | (u_n v_{n+1} - u_{m-1} v_m) |
| Résiduel | (-\int v \, du) | (-\sum v_{k+1}(u_{k+1}-u_k)) |
Celui qui rate ce passage calculera toute sa vie au crayon à papier.
Généralisation Riemann-Stieltjes : pourquoi, comment
La plupart s’arrêtent à "par parties" sans même soupçonner ce chef-d’œuvre : l’intégrale de Riemann-Stieltjes. Là, on ne se contente plus d’intégrer f(x)dx ; non, soyons clairs, on tape carrément dans :
[
\int_a^b f(x) dg(x)
]
Ici g(x), c’est l’intégrateur — une fonction qui peut avoir des sauts ou des marches (bonjour les probabilités discrètes !). Résultat ? L’intégration par parties devient une arme fatale :
La formule d’intégration par parties se généralise direct à Riemann-Stieltjes, et pour ceux qui pigent vraiment : la seule différence tient à remplacer dx par dg(x). Toutes vos belles propriétés tombent si g est trop sauvage — bienvenue dans le vrai monde mathématique.
Lebesgue-Stieltjes : mise en garde pour les M1
Soyons clairs : si tu débarques en Master 1 persuadé que le Lebesgue-Stieltjes est juste un gadget technique façon "Riemann amélioré", prépare-toi à pleurer. Ici, tout repose sur la mesure associée à g(x), pas sur des"points" ou "marches" gentils. Les fonctions peuvent être discontinues sur un ensemble non dénombrable… Et tu veux intégrer quoi ?!
Applications pratiques : physique, probabilité, finance
Oubliez les exercices à dormir debout : l’intégration par parties sert concrètement là où ça cogne – en calcul physique, proba ou finance. Voici trois cas où on ne vous pardonnera pas l’approximation.
Moment d’inertie et mécanique quantique
Vous bossez sur un disque homogène ? Le moment d’inertie s’écrit (I = \int r^2\,dm). Si la masse linéique ou volumique dépend du rayon (ex : (dm = 2\pi\rho r dr)), on se retrouve vite avec (I = 2\pi\rho \int r^3 dr). En mécanique quantique, même combat pour les intégrales radiales : l’intégration par parties permet de faire disparaître les termes gênants – typiquement dans le passage des équations différentielles aux opérateurs hermitiens. Ceux qui bidouillent sans réfléchir à la simplification du résidu passent leur vie à refaire les mêmes calculs idiots.
Espérance d’une loi continue en probabilités
Prenez une variable X à densité f(x) sur [0, +∞[. Son espérance : (E[X] = \int_0^{+\infty} x f(x) dx). Intégration par parties : posez u = x et dv = f(x) dx – et hop, le x saute en se transformant en dérivée de F(x), la fonction de répartition. Résultat : accès direct à des formules anti-répétitives (très utile pour expo ou gamma). Trop d’étudiants campent bêtement sur la définition brute et perdent la finesse du calcul différentiel…
Actualisation d’un flux exponentiel (finance)
Quand il s’agit de calculer la valeur actualisée d’un flux F(t) = Ae^{-rt} sur [0,T], on tombe sur (V = \int_0^T A e^{-rt} dt), mais pour des flux croissants ou indexés (ex : t·e^{-rt}), seule une intégration par parties permet un résultat propre. Évitez de perdre du temps à bidouiller chaque primitif séparément – appliquez la formule directement et vous voilà avec V exprimé sans transpirer… sauf si bien sûr vous aimez arrondir au pif devant un investisseur énervé !
Foire aux questions sur l’intégration par parties
Intégrales impropres : mode d’emploi (FAQ express)
- On peut utiliser l’intégration par parties avec des intégrales impropres ?
Oui, mais attention : chaque membre du calcul doit être traité comme une limite. Si votre intégrale diverge ou qu’un terme croisé explose aux bornes, c’est direct à la casse ! - Que faire si une borne est infinie ou que la fonction pète un câble à un bord ?
On pose un paramètre (genre R ou ε), on fait le calcul formel avec des bornes finies, puis on prend la limite — et là, pas d’arrondi foireux ou de saut de ligne. - L’ordre d’intégration change-t-il quelque chose ?
Oui, souvent. Sur les fonctions à support non compact, inverser les rôles u et dv peut être suicidaire. Toujours vérifier la convergence avant de conclure. - Un exemple qui pique ? Essayez ∫₀^∞ x e^{-x} dx par parties: tout roule car le terme croisé [x e^{-x}] s’annule en ∞, mais changez les fonctions et vous pouvez faire exploser le score en une ligne.
Fonctions à valeurs complexes : pas de magie noire
- La formule d’intégration par parties s’applique aussi aux fonctions complexes – même recette qu’en réel, pourvu que les dérivées existent. Il suffit de manipuler les parties réelle et imaginaire séparément, ou mieux : travailler directement avec le conjugué si besoin (en physique quantique notamment). Bref : aucune excuse pour rater la manip sous prétexte de « complexité » imaginaire…
Automate pour décider de la méthode ? L’IA remplace-t-elle le cerveau ?
Soyons clairs : il n’existe AUCUN algorithme miracle universel qui choisit la bonne méthode d’intégration à votre place. Les prétendus "arbres de décision" sont bons à occuper un PowerPoint corporate mais incapables d’anticiper les subtilités réelles (et piégeuses !) des intégrales tordues.
L’intelligence artificielle "spécial math" qui résout TOUT… c’est l’arnaque du siècle. Jusqu’à preuve du contraire, un cerveau humain qui réfléchit vaut toutes les IA coincées sur une boucle for. Encore faut-il l’utiliser plus souvent !
L’art de l’intégration par parties en 7 lignes
Checklist finale à garder sous le coude :
- La formule n’est pas magique : vérifiez conditions sur u et v, point barre.
- Visez la simplification immédiate — sinon, repartez à zéro (et vite !).
- LIATE ? Oui… si vous le comprenez vraiment ; sinon heuristique mentale obligatoire.
- Vérifiez convergence et bornes SYSTÉMATIQUEMENT, surtout en impropre.
- Intégrale résiduelle plus dure = mauvais choix initial : n’hésitez pas à permuter !
- Détectez les cycles, factorisez sans pitié – les boucles ne pardonnent pas l’oubli.
- Cochez chaque étape AVANT de conclure : oublis = points perdus… et mauvaise note assurée.
