La formule d’intégration par parties itérée est l’un des outils les plus puissants de la panoplie mathématique prépa. Mais aussi l’un des plus traîtres. Entre confusions sur les choix de fonctions, erreurs dans le signe (-1)^k, oublis de limites et approximations en tout genre, elle est aussi indispensable qu’elle peut être redoutable. Alors, on vous a préparé le guide le plus complet du Web : cours détaillé, démonstration pas à pas, exemples corrigés, bourdes à éviter et astuces béton. Tout ce qu’il faut pour être opérationnel en 30 minutes top chrono. [Choc garanti ou remboursé.]
Formule d’intégration par parties itérée : l’essentiel à retenir
Autant vous dire, la majorité des candidats se vautre ici parce qu’ils jouent la carte du "je connais mon tableau de primitives sur le bout des doigts". Erreur fatale : les intégrales ont un ego. Elles veulent de la reconnaissance, surtout quand elles s’emballent avec des dérivées d’ordres variés et ce fichu $(-1)^k$ qui fait sa diva.
Décryptage express de la formule (Σ, $(-1)^k$, dérivées d’ordres variés)
La formule canonique en latex ?
$$
\int_a^b u^{(n)}(x) v(x)\,dx = \sum_{k=0}^n (-1)^k [u^{(n-k)}(x) v^{(k)}(x)]_a^b + (-1)^{n+1}\int_a^b u(x) v^{(n+1)}(x)\,dx
$$
- Ligne 1 : On attaque avec l’intégrale d’une dérivée n-ième ($u^{(n)}$). Pas juste pour frimer — c’est souvent imposé par le contexte !
- Ligne 2 : La somme $\,\sum_{k=0}^n$ ? C’est le carrousel : on alterne les dérivées successives de $u$ et $v$, mais à chaque fois le signe change (merci $(-1)^k$).
- Ligne 3 : Le terme résiduel ? Il planque une nouvelle intégrale avec la $(n+1)$-ième dérivée de $v$. Et là, soyons clairs : oublie ce morceau et tu paies cash à la notation !
- Tout est affaire de frontières ($a$, $b$) — chaque bord peut te mettre minable si t’es pas vigilant.
Une intégrale mal négociée, c’est une limite qui vous claque la porte au nez.
Schéma visuel pour ceux qui détestent les équations interminables
Dans la vraie vie, tout le monde n’a pas envie d’écrire trois pages rien que pour une IPPⁿ. Pour survivre au DS sans se noyer dans la syntaxe :
Méthode échelle (ladder rule), mode d’emploi express :
1. Colonne gauche : Liste toutes les dérivées successives de $u$ (décroissant). À chaque flèche vers le bas, tu passes un cran ($u$, $u'$, …).
2. Colonne droite : Liste toutes les primitives successives de $v$ (croissant). À chaque flèche vers le haut, tu intègres un coup ($v$, $V$, …).
3. À chaque étage, multiplie les termes opposés reliés par ta diagonale – attention au signe alterné ($(-1)^k$ est ton garde-fou).
Soyons honnêtes : ceux qui tracent ce schéma sur brouillon gagnent du temps et évitent 80 % des boulettes classiques (oubli d’un signe ou confusion entre récurrence et répétition… ne riez pas).
Conditions d’application : quand l’itération tient la route
Dans la vraie vie, il ne suffit pas de dégainer la formule d’intégration par parties comme un cowboy. Non, ici, on parle d’exigence quasi militaire sur les hypothèses – et pas de passe-droit version "approximation à la va-vite" comme on l’entend au fond de l’amphi.
Régularité des fonctions (classe Cⁿ) — pas de passe-droit
Check-list Do/Don’t à coller dans ton poly :
- Do :
- Functions $u$ et $v$ doivent être de classe $C^n$ sur $[a,b]$. Traduction : toutes les dérivées jusqu’à l’ordre $n$ existent ET sont continues. C’est non négociable.
- Support compact ? Oui madame. Sur un intervalle fini, c’est le Graal pour dormir tranquille (évite les embrouilles aux bornes...)
- Au concours Mines-Ponts, justifie toujours que $u,v \in C^n([a,b])$. Les correcteurs aiment le sang-froid mathématique, pas le freestyle.
- Don’t :
- Oublier qu’une seule dérivée saute (genre $v^{(k)}$ qui n’est plus continue) = ta démonstration part en vrille directe.
- Appliquer IPP itérée sur une fonction sans support compact en mode YOLO — tu t’exposes à des intégrales divergentes vicieuses.
Bornes d’intégration et cas particuliers (impropres, infinies, changement de variable)
| Cas | Bornes | Terme de bord ($[uv]_a^b$) | Condition essentielle |
|---|---|---|---|
| Fini/Fini | $[a,b]$ | Toujours présent | Rien à signaler si Cⁿ |
| Infini | $(a,+\infty)$ ou $(-\infty,b)$ | Limite en $+\infty$ / $-\infty$ | Le bord doit converger ! |
| Impropres | Singularité en $a$, $b$ | Limite au point singulier | Tout est dans la limite |
| Changement variable | Dépend du nouveau domaine | Transformation du terme de bord | Bien recalculer le new bord |
Démonstration pas à pas : de l’IPP simple à l’IPPⁿ
Rappel éclair de l’intégration par parties basique
Soyons clairs : tout commence avec la version terminale ++, celle que personne ne lit vraiment dans les polys.
On prend deux fonctions $u(x)$ et $v(x)$ continûment dérivables. Dérivée du produit :
$$
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
On intègre sur $[a,b]$ – pas de freestyle :
$$
\int_a^b u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)dx
$$
Traduction : tu échanges une intégrale contre un terme de bord et une nouvelle intégrale, plus digeste (ou pas).
Preuve par récurrence : l’astuce Brook Taylor version 2024
Si t’as jamais lu le nom « Brook Taylor » dans un cours d’intégrale : c’est normal, et pourtant…
L’itération se fait en trois checkpoints :
- Initialisation ($k=1$): C’est juste l’IPP classique ci-dessus. Rien d’exotique.
- Hypothèse ($k$): Suppose la formule marche jusqu’à $k$ itérations. Notation : on a déjà la somme alternée avec les bons termes de bord.
- Hérédité ($k \rightarrow k+1$): On refait une IPP sur le résidu, on pousse le $(-1)^k$ devant le nouveau couple dérivée/primitivée, et hop, la structure se répète – mais chaque étape renvoie à l’enfer des signes, donc la rigueur n’est PAS négociable.
Astuce Brook Taylor inside: chaque passage ajoute un étage à ta somme alternée, façon millefeuille mathématique – tu montes ou tu crèves.
Notation compacte : gagnez trois lignes en copie
Pourquoi écrire 7 lignes quand une $\,\Sigma\,$ bien sentie suffit ? Voici la version « économiseur d’encre » :
$$
\int_a^b u^{(n)}(x) v(x) dx = \sum_{k=0}^n (-1)^k [u^{(n-k)}(x) v^{(k)}(x)]_a^b + (-1)^{n+1} \int_a^b u(x) v^{(n+1)}(x) dx
$$
Le $(-1)^k$, c’est la cerise acide : oubliez-le et votre note aussi.
Comment choisir u et v⁽ᵏ⁾ sans perdre 30 minutes
Heuristique « décroissance vs dérivabilité »
Autant vous dire : si tu utilises mécaniquement la règle LIATE (Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Expo) sans réfléchir à la décroissance de ta fonction, c’est direct au tapis. La vraie vie de concours : fais passer en priorité les fonctions qui disparaissent vite (exponentielles négatives) en dv — leur primitive existe TOUJOURS et n’enfle jamais.
Le vrai critère qui fracasse la médiocrité ? Prends pour $u$ le facteur dont la dérivée se simplifie à chaque passage (genre polynôme : $x^n \rightarrow x^{n-1}$). Réserve $dv$ aux morceaux qui s’intègrent sans créer de monstres.
D’expérience terrain, le gars qui choisit $u = e^{-x}$ dans $\int x e^{-x} dx$ se fait recaler à l’oral Mines-Ponts à vitesse grand V. Bref : décroissance rapide côté dv, simplification côté $u$. Aucun tableau mnémotechnique ne remplace cette lucidité-là.
Tableau décisionnel express (poly, expo, log, trig, mix)
| Fonction-type | $u$ (à dériver) | $dv$ (à intégrer) |
|---|---|---|
| Polynôme ($x^n$) | Oui (dérive bien) | Jamais seul (sinon ça empire) |
| Exponentielle ($e^{ax}$) | Jamais négative (si décroissante) | Oui (si expo négative ou simple forme) |
| Logarithme ($\ln x$) | Oui (simplifie fort après dérivation) | Jamais (primitive explosive !) |
| Trigo ($\sin$, $\cos$) | Parfois (en combo avec polynôme) | Ok si pas "tan" ou "sec" seuls |
Applications béton : 5 intégrales qui se laissent dompter
Autant vous dire, seule une poignée ose aller au bout de ces cinq monstres sans y laisser des points. Ici, c’est la section où les correcteurs repèrent d’emblée qui sait manier l’Intégration par Parties Itérée et qui récite.
∫ xⁿ e^{kx} dx – le classique indémodable
L’intégrale star du concours, revue en Mathématiques I 2011 et dans tous les annales sérieux :
$$
I_n = \int x^n e^{kx} dx
$$
Régle d’or : $u = x^n$ (qui va à zéro vite), $dv = e^{kx}dx$ (jamais de surprise).
Première IPP :
$$
I_n = \frac{x^n}{k}e^{kx} - \frac{n}{k}\int x^{n-1}e^{kx} dx
$$
On recommence n fois – chaque round, le degré décroît d’un cran, jusqu’à $x^0$. On obtient :
$$
I_n = e^{kx}\sum_{m=0}^n (-1)^m\frac{n!}{(n-m)!}\frac{x^{n-m}}{k^{m+1}}
$$
et le dernier terme est juste $\frac{(-1)^nn!}{k^{n+1}}e^{kx}$.
Anecdote salée : en 2011, 80 % des candidats perdaient le signe alterné après la troisième itération. Le lien avec la série de Taylor saute aux yeux si tu compares les coefficients — c’est la même structure !
∫ xⁿ cos(ax) dx – quand la trigo s’invite
Deux itérations suffisent pour voir émerger un pattern cyclique :
d’abord,
u = x^n\,, dv = \cos(ax)dx.
On déroule :
$$
I_n = \int x^n\cos(ax)dx = \frac{x^n}{a}\sin(ax) - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin(ax)dx \
i.e., I_{c,n} = \frac{x^n \sin(ax)}{a} - \frac{n}{a}I_{s,n-1}
on recommence sur $I_{s,n-1}$ (avec $\sin$ à intégrer), on retombe sur un motif doublement alterné (trigo + puissance).
dans l’épreuve "Intégration par parties itérée", le bon élève repère vite que tout se ramène à une récurrence à deux têtes : chaque tour fait tourner le duo $(\cos,\sin)$ — ceux qui forcent trois tours pour rien sont vite recalés.
∫ (ln x)^n dx – le piège favori des examinateurs
On a tous grogné devant ce truc. La clé ? Substitution exponentielle ($x=e^t$), puis IPP classique avec $u=(lnx)^n$, $dv=dx$ :
en posant $t=lnx$, on obtient l'intégrale équivalente de $t^ne^t$, archi-connue en réduction IPP.
après n passages délicats, résultat sec :
$$
yield: ∫_0^1 (lnx)^ndx=(-1)^nn!
$$
sans ce (-1)^nn!, votre note fond comme neige au soleil. Et oui – ce n’est PAS intuitif pour ceux qui confondent substitution et changement de variable sauvage.
Série de Fourier & clin d’œil Laplace — bonus luxueux
pour les coefficients de Fourier, intégration par parties met en lumière la décroissance rapide ($a_k\propto 1/k$ dès que ta fonction possède une dérivée continue). Plus fort encore : dans l’intégrale impropre façon Laplace ($\int_0^{+\infty} x^ne^{-ax}dx$), une IPP bien menée donne direct $\frac{n!}{a^{n+1}}$. C’est exactement l’esprit "sommation par parties"… mais transposé côté analyse réelle.
pour briller au concours : cite la transposition discrète (Fourier/Laplace), et montre que tu connais leur cousinage structurel.
Les bourdes fréquentes et comment les esquiver
Signe $(-1)^k$ oublié : le cauchemar des copies
Trois exemples de sanction à l’ancienne :
- Cas typique : intégrale $
\int x^2 e^{-x} dx$, le candidat s’applique trois tours mais oublie l’alternance des signes. Résultat : tous les termes positifs, score divisé par deux.
- Erreur de série : sur un calcul de coefficients de Fourier, disparition du $(-1)^k$. Le coefficient $a_k$ devient une constante, la périodicité est pulvérisée, point barre.
- Travail en chaîne : les dérivées successives sans signe alterné donnent une somme qui explose littéralement (genre $n!$ au lieu de $(-1)^nn!$). Les correcteurs appellent ça « l’effet domino fatal ».
Limites aux bornes : la claque à la notation abusive
La mythologie du $0×\infty$ fait une victime à chaque DS. Typiquement : $
\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx$, on balance « le terme de bord vaut zéro car x va vers zéro et e puissance moins l’infini c’est négligeable ». Non ! C’est indéterminé — il faut CALCULER la limite. Ceux qui écrivent juste « bord=0 » sans justification offrent leur note sur un plateau.
Sur-itération : quand l’intégrale résiduelle était plus simple
Exemple classique : $
\int x \cos x dx$
— deux itérations suffisent pour tomber sur l’intégrale initiale (on boucle). L’étudiant zélé pousse jusqu’à cinq passages, croyant que plus il y a d’étapes mieux c’est — résultat, il retombe sur le même type d’intégrale mais avec des coefficients absurdes et une copie imbuvable. Dans la vraie vie ? Le barème ne récompense pas le bavardage algorithmique.
Au-delà du programme : Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes & co.
Autant vous dire, la plupart croient que l’intégration par parties s’arrête à la porte du bac+2. Erreur : les vrais matheux bossent avec des intégrales généralisées où le simple dx laisse place à une fonction de variation bornée $d\alpha$. Là, chaque détail technique peut faire sauter la validité de ta formule – pas le moment d’improviser.
Transposer l’intégration par parties ? Version Riemann-Stieltjes et Lebesgue-Stieltjes :
- La formule s’écrit $\int_a^b u(x)\, d\alpha(x) = [u(x)\alpha(x)]_a^b - \int_a^b \alpha(x) du(x)$, mais sous réserve que $u$ ou $\alpha$ soient de variation bornée sur $[a,b]$.
- *Riemann-Stieltjes* : exige au minimum que l’un soit continue et l’autre de variation bornée (ce qui t’exclut déjà 80% des fonctions sauvages).
- *Lebesgue-Stieltjes* : tolère les fonctions mesurables (même celles qui font pleurer les correcteurs), et permet d’intégrer contre des mesures singulières — là c’est open bar côté pathologies !
Résumé en trois points :
- Riemann : intégration « classique » améliorée (variation bornée indispensable).
- Lebesgue : mesure générale ; accepte presque tout, tant pis pour l’intuition.
- Stieltjes : met un accent sur la nature du « différentiel », pas juste dx — donc parfait pour sombres suites ou processus à sauts.
Sommation par parties, version discrète
Dans la vraie vie, tout ce bazar a son analogue côté suites. Sommation par parties (aussi appelée transformation d’Abel) s’écrit simplement :
$$
\sum_{k=m}^n u_k (v_k-v_{k+1}) = [u_k v_k]m^{n+1} - \sum{k=m}^{n} v_{k+1}(u_{k+1}-u_k)
$$
C’est LA technique pour traiter les séries où les produits ne te laissent aucune chance en direct. Ceux qui maîtrisent ça bottent en touche toutes les questions pièges sur les séries alternées et convergence moche. Soyons clairs : c’est le même esprit que l’IPP mais version « escalier » – preuve que même en discret, le raisonnement reste acéré.
Fiche révision minute et exercices corrigés
Dans la vraie vie, personne n’a le temps de relire 20 pages de polys la veille du DS. Ici, c’est la section fusée : tu coches, tu souffles — et si t’as un doute, tu passes direct à l’exercice qui pique là où ça fait mal.
Check-list des étapes à relire la veille du DS
- [ ] Hypothèses vérifiées : $u,v \in C^n$ sur l’intervalle, bornes bien posées (pas d’impro).
- [ ] Le choix de $u$/$dv$ est optimal (polynôme en $u$, expo ou trigo en $dv$ selon décroissance).
- [ ] Signe $(-1)^k$ bien présent et respecté dans chaque terme de la somme.
- [ ] Calcul rigoureux des limites aux bornes (pas de "0×∞" sans preuve sérieuse !).
- [ ] Nombre d’itérations adapté : ni trop peu (résidu compliqué), ni marathon inutile.
- [ ] Terme résiduel bien noté, avec intégrale finale ou justification de convergence.
Trois exercices progressifs corrigés pas à pas
Exo 1 : Facile
Calculez $\int_0^1 x e^x dx$ par parties.
(correction)
Exo 2 : Moyen
Déterminez $\int x^2 \cos(x) dx$. Deux itérations requises ; attention au motif cyclique.
(solution rapide en pdf)
Exo 3 : Sauce concours
Montrez pour tout entier $n≥1$: $I_n = \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} dx = n!$
(exercices avancés)
Où pratiquer en ligne (MOOC, Bibmath, plateformes)
- Major-prepa : tutos ciblés pour les exos type Mines-Ponts & oraux HEC.
- Bibmath : fiche IPP itérée + générateur d’exos random niveau prépa.
- Unisciel : plateforme MOOC ⭐⭐⭐⭐⭐ avec vidéos ultra-digestes et quiz d’entraînement à correction instantanée.
Ressources, bibliographie et liens utiles
Vous cherchez du lourd, pas une liste tiède d’URLs recyclées ? Voici où piocher pour prendre une vraie longueur d’avance sur l’IPP itérée — et étoffer vos brouillons de copies sérieuses.
- Major-Prepa : L’intégration par parties version concours — chaque année une fiche à valeur ajoutée, focus concours Mines-Ponts.
- PDF Mines Télécom : Fiche IPP n fois itérée — schémas à la main et exemples types.
- Calcworkshop : Integration by Parts – ILATE method — explications limpides (en anglais), avec tableau décisionnel et exos corrigés.
- Math StackExchange : Tabular Integration By Parts—méthode tabulaire — les débats pointus des vrais mordus mathématiques.
- KhanAcademy : Vidéo explicative integration by parts (fr/en) — histoire de revoir les bases en moins de 10 minutes sans grincer des dents.
Pour tous ceux qui veulent réviser la récurrence avant de dégainer l’IPPⁿ, ne zappez pas ce guide sur la Formule suite arithmétique – guide complet. Une seule relecture, et vous évitez la boulette classique sur le passage à l’induction en pleine rédaction.
Conclusion : Intégration par parties itérée, le couteau suisse (à dégainer avec parcimonie)
Dans la vraie vie, seuls les candidats qui respectent l’ego des intégrales et manient le $(-1)^k$ comme un pro tirent profit de l’itération. Les bénéfices ? Un gain de temps redoutable, une résolution de cas réputés infaisables à la main. Mais attention : sur-utiliser cette technique c’est s’exposer aux pires bourdes – signe oublié, résidu négligé, ou choix $u/dv$ foireux – bref, le cauchemar du correcteur.
Soyons clairs : maintenant que le $(-1)^k$ est tatoué sur votre cortex, à vous de jouer.
