Équivalents mathématiques : liste complète + méthode + astuces. Pour préparer vos concours ou tout simplement vous remettre à niveau. (Spoiler: c’est même plus qu’un fiches, c’est un cours complet.)
Si vous ne maîtrisez pas les équivalents usuels rapidement, vous risquez de compromettre votre oral de concours.
Un bon équivalent évite dix pages de L’Hospital.
Équivalents incontournables quand x→0
| Fonction f(x) | Équivalent pour x→0 | Remarques big-O |
|---|---|---|
| sin(x) | x | o(x) rapide, symétrie impaire |
| tan(x) | x | même combat que sin(x) |
| cos(x) | 1 – x²/2 | Symétrie paire, DL à l’ordre 2 |
| 1 – cos(x) | x²/2 | Négligez O(x⁴), attention signe |
| ln(1+x) | x | Piège classique sur le domaine |
| eˣ – 1 | x | L’équivalent-roi |
| tanh(x) | x | Hyperbolique = trigonometrique |
| √(1 + x) – 1 | x/2 | Toujours vérifier le signe |
| arcsin(x), arctan(x) | x | Attention au domaine d’existence |
On me sort trop souvent des approximations douteuses sur les bornes : si ce tableau n’est pas su par cœur (oui, par cœur !), c’est la sanction directe.
Équivalents incontournables quand x→+∞
| Fonction f(x) | Équivalent pour x→+∞ | Remarques big-O |
|---|---|---|
| eˣ | eˣ | Explose tout, série entière |
| xᵅ (α > 0) | xᵅ | Plus lent qu’exponentielle |
| ln(x) | ln(x) | Nul à côté de toute puissance |
| tanh(x) | 1 – 2e^{-2x} | Se plaque sur 1 très vite |
Petit rappel qui humilie tous ceux qui confondent hiérarchie de croissance :
- eˣ ≫ xᵅ ≫ ln(x)
- Notation little-o : ln(x) = o(xᵅ), et xᵅ = o(eˣ) lorsque α > 0. Tout est là.
Les pièges de symétrie et de bornes (|x|, –x, etc.)
On ne répétera jamais assez :
- cos(–x) = cos(x) (symétrie paire)
- sin(–x) ≈ –x près de zéro (symétrie impaire)
- ln(1 + (–x)) ≈ –x pour petit x, attention au domaine où c'est défini !
- tanh(–x) = –tanh(x)
Règle mémo instantanée : « Remplacez |x| par x, vous pleurez ; gardez le signe, vous scorez ». J’ai vu tomber plus de candidats sur un pauvre signe oublié que sur une intégrale totale impropre. Dans la vraie vie !
Utiliser un équivalent pour tuer une limite en 3 lignes
Soyons clairs : si t’as envie de te taper une page de calcul pour une limite 0/0, c’est ton choix — mais les correcteurs, eux, n’en peuvent plus ! L’équivalent, c’est la kalachnikov du matheux pressé.
Repérer la forme indéterminée : check-list express
Tu veux scorer vite ? Dégaine ce check-list ultime des formes piégeuses (toujours avec exemples concrets) :
- Produit 0 × ∞ : Ex. x·ln(x) quand x→0⁺, ça pue la galère sans réécriture (ici ln(x) ~ –∞).
- Quotient 0/0 ou ∞/∞ : Ex. (sin(x))/x quand x→0, jackpot pour sortir l’équivalent sin(x)~x.
- Différence ∞ – ∞ : Ex. ln(x+1) – ln(x) quand x→+∞. Attention, ça s’annule trop vite, il faut développer ou factoriser.
- Puissance 0^0, ∞^0, 1^∞ : Ex. (1+x)^{1/x} quand x→0. On cale un coup de ln puis exp !
Gardez à l'esprit que les fonctions ln et exponentielle cachent souvent des formes indéterminées complexes.
Factoriser ou changer de variable : routine gagnante
Prenons par exemple limₓ→0 [(√(1+x)-1)/x]. Premier réflexe d’hygiène mentale : factorisation ! On multiplie numérateur et dénominateur par (√(1+x)+1). Résultat ?
(√(1+x)-1)/x = [x/(√(1+x)+1)]/x = 1/(√(1+x)+1)
tout simplement… Plus chanceux que la roulette russe ! Une autre astuce pour les oraux : utiliser une substitution u=g(x). Par exemple, pour limₓ→0 sin(3x)/x, on peut écrire limᵤ→0 sin(u)/(u/3) = 3. Un bon changeur de variable peut faire sauter un Big-O en trois lettres. Si les correcteurs étaient payés au nombre de substitutions justes, ils rouleraient tous en Tesla Plaid…
L’astuce expo-log (eˣ, ln) pour désamorcer les cas sournois
On tombe tous sur le classique limₓ→0 [(1+x)^{1/x}]. Si tu attaques ça de front tu as perdu !
La recette est unique : on pose y = (1+x)^{1/x}, donc ln(y) = ln(1+x)/x.
Or, quand x→0,
- ln(1+x) ~ x.
Donc ln(y) ~ x/x = 1 → y ≈ e¹ = e.
En trois lignes chrono, tu fais tomber le piège comme une vieille dominos !
Opérations sur les équivalents : règles MECE à ne plus jamais oublier
Une mauvaise manipulation des règles d’équivalents peut coûter cher à l’oral. L’arithmétique folklorique, ça suffit ! Il est temps de poser le scalpel sur trois opérations-clefs qui font passer pour un boss ou pour un amateur.
Addition & soustraction : quand l’équivalent disparaît
Il faut marteler la règle la plus humiliante du chapitre : on ne fait pas l’addition de deux équivalents n’importe comment. Un seul survit, l’autre disparaît, comme dans Koh-Lanta mais version analyse. Exemple qui tombe tous les ans :
$$
sin(x) + x^2\ \underset{x\to0}{\sim}\ sin(x)
$$
Pourquoi ? Parce que $sin(x) \sim x$ et $x^2 = o(x)$ donc $x^2$ est complètement négligeable devant $sin(x)$ près de zéro. Si tu te trompes là-dessus au tableau, t’es mort. La big-O ne pardonne rien !
Produit & quotient : effet loupe de la négligeabilité
Ici, c’est la jungle sélective des ordres de grandeur. Le best-seller pour t’humilier ou briller :
$$(1-cos x)/x^2$$
On sait bien que $1-cos x \sim x^2/2$, donc $(1-cos x)/x^2 \sim 1/2$. Toute la subtilité repose sur le fait qu’on peut remplacer chaque facteur par son équivalent si et seulement si le dénominateur n’est jamais nul — sinon, c’est la sanction instantanée.
Autant vous dire qu’un oubli là-dessus, et on explose le compteur des erreurs fatales. Les vrais savent.
Composition de fonctions : cascade contrôlée d’erreurs
La composition, c’est le cauchemar des candidats qui confondent tout. Je prends le cas exp(sin x) – 1 lorsque x→0. On déroule :
- $sin(x) \sim x$
- Donc $exp(sin x) - 1 \sim exp(x)-1 \sim x$
L’astuce : tu remplaces f(g(x)) par f(équiv_g(x)) si f est assez régulière (typiquement développable en série entière autour de zéro). Le piège classique ? Oublier que l’erreur (big-O) s’accumule à CHAQUE étape et peut tout fausser si mal propagée.
Perso, je me suis déjà planté devant jury avec arccos(1-x), en zappant que pour petit x > 0,
- arccos(1-x) ≈ sqrt(2x)
Eh oui ! Grattez toujours la régularité fonctionnelle – sinon, next !
Développements limités vs équivalents : clarifions une bonne fois
Soyons clairs, la frontière entre développement limité (DL) et équivalent n’est pas juste une coquetterie de matheux, c’est ce qui sépare le calculateur bourrin du sniper élégant. Un DL à l’ordre $n$, c’est toute la panoplie : polynôme complet avec chaque terme soigneusement pesé, le reste minoré en $o(x^n)$ si tu bosses proprement. L’équivalent, lui, s’en fout du reste : il n’y a qu’un terme qui survit dans l’arène.
Un équivalent, c’est le DL simplifié : rapide, pas toujours élégant, mais efficace.
On ne va pas se mentir :
- DL = menu dégustation (tous les arômes du voisinage)
- Équivalent = shot d’espresso (ça percute direct sans fioriture).
La précision ? Le DL décrit la fonction jusqu’à l’ordre choisi ; l’équivalent ne garde que le premier terme significatif. C’est utile quand seule la domination compte (genre limite ou négligeabilité), et totalement insuffisant pour une approximation raffinée.
Passer du polynôme tronqué à l’équivalent : méthode accélérée
Pour extraire un équivalent depuis un DL : cible le monôme dominant non-nul, trash tout le reste. Exercice express avec cosinus hyperbolique ($\cosh x$) près de zéro :
$$
\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)
$$
L’équivalent pour $x→0$ est… $1$. Si tu veux plus fin ? Prends $x^2/2$ pour des situations où $1$ s’annule par compensation. Algorithme universel :
1. Écris le DL complet à l’ordre souhaité.
2. Repère le premier terme non-nul près du point d’étude.
3. Ignore les suivants – et vérifie bien que ton équivalent ne s’annule pas dans ton contexte !
Voilà, c’est tout sauf compliqué… encore faut-il vraiment lire son DL avant de recopier comme un automate.
Mini-workshop : 3 exercices minute, corrigés au scalpel
Voici trois classiques qui dégomment lors des oraux — réponses détaillées dans la foulée :
- Limite de $(\tanh x)/x$ quand $x→0$
- $\tanh x \sim x$ donc $(\tanh x)/x \sim 1$. Limite = 1. Correcteur content !
- Limite de $\ln(1+\sin x)/x$ quand $x→0$
- $\sin x \sim x$, donc $\ln(1+\sin x) \sim \sin x \sim x$. Le quotient tend vers 1.
- Limite de $(\sqrt{1+x}-1)/x$ quand $x→0$
- $\sqrt{1+x}-1 \sim x/2$, donc rapport tend vers $1/2$.
Si vous avez échoué sur ces basiques, relisez la fiche plusieurs fois pour bien les maîtriser.
Équivalents avancés : hyperboliques, arcs, racines & co.
On entre dans la section pour ceux qui veulent être irréprochables à l’oral – et pas juste des clones de polycopié. Les équivalents qu’on balance ici, personne ne te les rappellera sous stress. C’est le moment où tu gagnes 1,5 point sur la moyenne grâce à de l’ultra-technique.
sinh, cosh, tanh : la face cachée des fonctions hyperboliques
Oubliez le folklore autour du « c’est la même chose que sinus/cosinus mais en hyperbole » — ce n’est vrai qu’à moitié ! Près de zéro :
- sinh(x) ~ x (impaire, comme sin(x)),
- cosh(x) ~ 1 + x²/2 (paire et plus plate que cos(x)),
- tanh(x) ~ x (exactement comme tan(x)).
Le vrai piège ? La confusion des signes dès qu’on compare avec les arcs : argsh(x) ~ x,
argch(1+x) ~ sqrt(2x), alors que arccos(1-x) ~ sqrt(2x). Et personne n’ose jamais demander si ça marche aussi côté négatif… alors que oui, avec prudence sur les domaines ! Surtout, ces fonctions sont définies partout : pas de carambolage d’existence au tableau.
Inverses, puissances fractionnaires, racines : cas limites
Dans la vraie vie : $x^\alpha$ pour $\alpha \in (0, 1)$ explose toutes les comparaisons mollassonnes. Quand $x \to 0^+$ :
- $\sqrt{x} = x^{1/2}$,
- $x^{1/3}$,
- $x^{\alpha}$ général.
Ces bestioles sont toujours négligeables devant $x^\beta$ si $0 < \alpha < \beta$, et on note $x^{\alpha} = o(x^{\beta})$. À l’infini ? L’inverse fait le ménage : $1/x \to 0$, mais beaucoup moins vite qu’une exponentielle ou même une racine carrée.
Astuce d’expert : n’oubliez pas qu’une fonction puissance fractionnaire ($x^a$, $0<a<1$) croît moins vite qu’un logarithme à l’infini… détail qui vaut deux barres au concours si tu le sors sans bégayer !
Fonction Gamma, log-log : curiosités utiles pour briller
Soyons clairs : personne ne s’attend à voir débarquer un équivalent de la fonction Gamma ($\Gamma(x)$) dans ta copie — et pourtant c’est LE truc qui épate un jury fatigué. Lorsque $x\to 0^+$ :
$$
\Gamma(x) \sim 1/x - \gamma + O(x)
$$
où $\gamma$ est la constante d’Euler-Mascheroni. Tu places ça à l’oral ? Silence garanti chez les examinateurs. Pour finir en beauté, retiens que log(log($x$)) croît à peine plus vite que n’importe quel polynôme fractionnaire : rien n’écrase plus un calcul tordu qu’un bon vieux log-log sorti du chapeau.
Toolbox express : 10 hacks pour fabriquer un équivalent maison
Autant le dire, la boîte à outils qui suit n’a rien du bric-à-brac pour touristes des maths. Ici, c’est cash : tu appliques, tu survis. Pas de poudre aux yeux, que du concret, calibré concours.
Linéariser à la sauvage : substituer, simplifier… scorer
Soyons clairs, linéariser c’est pas juste "faire semblant que x est tout petit" : c’est LA technique qui te fait passer sin(x) ≈ x en one-shot. Méthode ? Calcule le DL à l’ordre 1 autour de zéro :
$$
sin(x) = x + o(x)
$$
Tu retires tout le gras (le reste négligeable), et te voilà avec l’équivalent à toute épreuve. À sortir partout où ça tangente sec. ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️ (le hack ultime)
Variable intermédiaire : l’art du petit détour
La variable intermédiaire, c’est la planque des intelligents – genre remplacer $x$ par $u^2$ quand tu veux analyser $\sqrt{x}$. Exemple express : lim$_{x \to 0^+}\ \sqrt{x}$ ? Pose $u = \sqrt{x}$ donc $x = u^2$, puis tu bosses la limite en $u$ plutôt qu’en $x$. Pratique pour casser une racine ou débusquer une forme masquée. Cette astuce te sauve dans toutes les situations où une fonction explose ou s’écrase trop vite. ⭐️⭐️⭐️⭐️ (carrément costaud)
Changement d’échelle : comprimer ou dilater sans perdre les pédales
On ne pige jamais assez la puissance d’un changement d’échelle bien placé – genre passer de $(1+\frac{x}{n})^n$ vers $e^{x}$ lorsque $n \to +\infty$. Astuce : pose $y = x/n$, alors $(1+y)^n = e^{ny}$, donc à la limite ça colle pile-poil avec l’exponentielle. Ce genre de bidouille apparaît dès qu’une expression "accumule" beaucoup de petits effets (formule binomiale poussée au max). ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️ (absolument vital si tu veux briller au-delà du QCM)
La plupart des erreurs ne viennent pas d’un cerveau lent mais d’un refus crasse d’utiliser ces trois hacks en série — fais-le, et t’humilieras la concurrence Google sans même transpirer.
FAQ concours : les questions qui tombent (et comment scorer)
Un QCM sur les équivalents peut être plus complexe qu’il n’y paraît. C’est l’arme de destruction massive de la Banque PT et ECG. J’ai vu des candidats se faire dégommer sur des pièges qu’on pourrait éviter en dormant – si on a le réflexe MECE bien vissé. Je te sors ici trois QCM issus des pires traquenards, plus le gabarit rédactionnel qui fait mouche à tous les coups.
Les QCM à double piège récurrents des banques d’épreuves
- Pour $x\to 0$, lequel est un équivalent correct pour $\ln(1+x)$ ?
- a) $x^2$
- b) $x$
- c) $1+x$
- Réponse : b — ne jamais oublier que $o(x^2)$ est négligeable.
- Pour $x\to +\infty$, la hiérarchie correcte est ?
- a) $e^x \ll x^a \ll \ln(x)$
- b) $\ln(x) \ll x^a \ll e^x$
- c) $x^a \ll e^x \ll \ln(x)$
- Réponse : b — attention au sens du « petit o » !
- Lequel de ces équivalents est faux près de zéro ?
- a) $1-cos(x) \sim x^2/2$
- b) $(\sqrt{1+x}-1) \sim x/2$
- c) $tan(x) \sim x^2$
- Réponse : c — tan(x) ~ x, pas x² !
Rédiger la justification qui fait grimper la note même si le calcul est moche
Rédaction efficace = structure béton + notation irréprochable. Trois étapes inratables, même sous stress maximal :
- Introduction : « On souhaite déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers a. Pour cela, on utilise l’équivalent usuel : ... »
- Rappel de l’équivalent, avec notation little-o/méga-propre : « Or, lorsque x→a, [fonction] = [équivalent] + o([monome]). » Ne jamais zapper la précision du o(·), sinon direct au pilori.
- Conclusion logique : « On en déduit directement que la limite recherchée vaut ... car le reste est négligeable devant le terme principal. »
Astuce qui rapporte gros : écrire explicitement la domination (exemple : « $x^2 = o(x)$ quand $x\to 0$ »). Même si le calcul préliminaire est moyen, une justification carré sauve souvent la note d’examen.
Conclusion : votre plan d’attaque pour devenir maître absolu des équivalents
Soyons clairs, si tu veux survoler les concours et humilier la concurrence, tu prends le plan qui suit comme une routine de boxeur : tableau des équivalents en révision flash chaque matin (5 min montre en main), automatisation des règles MECE jusque dans les cauchemars, entraînement à rapper tous tes équivalents à 120 bpm jusqu’à ce que même ta voisine puisse les réciter. Rien de « naturel », tout est mécanique : la régularité explose le talent le jour J. Dans la vraie vie, c’est celui qui a automatisé sa fiche qui décroche le max !
